Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана $0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық. $A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы $A$ — бүтін сан, ал $B$ — жыл саны. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Рассмотрим числа состоящие не более чем из 2н цифр . Если x состоит из не более чем 2н цифр и x представимо в виде (A^2+B) , то таких A максимум 10^н , таких B максимум 3^(2н) . Тогда получаем , что существуют хотя бы 10^н ( 10^н - 9^н) не представимых . Тогда для любого 2к , у нас есть хотя бы 10^k( 10^k -9^k) чисел состоящих из не более чем 2k цифр не представимых в виде (A^2+B) => их бесконечно

Iz kakoi knigi?