4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Задача №1. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 часа 30 минут, а второй — за 3 часа 45 минут. За какое время наполняют бассейн оба фонтана, работая вместе?
комментарий/решение(2)

Задача №2. АА, ББ, ВВ и ГГ играли между собой в настольный теннис. АА сыграл 30 партий, ББ — 20, ВВ — 17, ГГ — 13. Сколько всего было сыграно партий?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Периметр треугольника $ABC$ равен 49 см. Известно, что сторона $AB$ в полтора раза больше чем сторона $BC$, и на 7 см больше чем сторона $AC$. Найдите сторону $BC$.
комментарий/решение(4)

Задача №4. Известно, что $|a|=19$, $|b|=20$, $|c|=21$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a-b+c$?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Площадь фигуры, нарисованной на клетчатой бумаге (см. рисунок ниже) равна $29,\!04$ см$^2$. Чему равна сторона клеточки?

комментарий/решение

Задача №6. На прямой отмечены точки $A$, $B$ и $C$ так, что $AC=12$ см, $BC=9$ см. Чему может быть равно расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите значение выражения $\frac{ab+a+b+1}{bc+b+c+1}:\frac{ed+e+d+1}{cd+c+d+1}$ при $a=2019$ и $e=1$.
комментарий/решение(5)

Задача №8. Напомним, что магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Из чисел 2019, 2020, $\ldots$, 2027 составили магический квадрат размера $3 \times 3$. Какое число расположилось в центре квадрата?
комментарий/решение

Задача №9. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$. Найдите углы этого треугольника, если известно, что $AK=BM=AB$
комментарий/решение(2)

Задача №10. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого делится на 2009.
комментарий/решение(2)

Задача №11. На окружности отмечено 40 точек. Каждые две из них соединили отрезком. Сеня покрасил точки в два цвета. Какое наибольшее количество отрезков с концами в точках разного цвета могло получиться?
комментарий/решение

Задача №12. В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен $\alpha$. Через час он опять равен $\alpha$. Найдите все возможные значения $\alpha$.
комментарий/решение

Задача №13. В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число стоящих пассажиров было в два раза больше числа сидящих. На остановке из автобуса вышло $4\%$ всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
комментарий/решение

Задача №14. Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
комментарий/решение

Задача №15. Под словом АЛМАТА зашифровали некоторое натуральное число, делящиеся на 45. Также известно, что при шифровке не использовали цифру 0. Найдите наименьшее возможное значение суммы цифр этого зашифрованного числа. (В шифровке одинаковые буквы означает одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.)
комментарий/решение

Задача №16. Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе напишите сумму чисел, которые надо вычеркнуть.
комментарий/решение

Задача №17. Палиндромом называют те числа, которые не изменяются при написании в обратном порядке. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех шестизначных палиндромов.
комментарий/решение

Задача №18. Вычислите: $$\left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\ldots+\frac{2017+2018}{2019}\right)+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{673}\right).$$
комментарий/решение(1)

Задача №19. Из числа $13^{100}$ вычли наибольший его делитель, не равный самому числу. Из полученной разности также вычли наибольший её делитель, не равный ей самой, и т.д., пока после очередного вычитания не получилась единица. Сколько всего вычитаний было произведено?
комментарий/решение

Задача №20. Известно, что $ab=1$, $(2a+b)(a+2b)=2019$. Найдите значение суммы $a^2+b^2$.
комментарий/решение(3)