5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур


Задача №1.  Через $a_n$ обозначим $n$-ое простое число. Например, $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=5$. Найдите наибольшее такое число $n$, что $3n$ не меньше числа $a_n$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите количество натуральных делителей числа $21^{22}$.
комментарий/решение
Задача №3.  Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 42 минут? Если в задаче получили два ответа, то необходимо указать меньшее из них.
комментарий/решение
Задача №4.  В равнобедренном треугольнике $MLP$ с основанием $LP$ биссектрисы $LN$ и $PK$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что $\angle LMP=80^\circ$. Найдите градусную меру разности $|\angle KQN-\angle QNM|$.
комментарий/решение
Задача №5.  Для некоторой операции $*$ выполнены равенства $3*3 = 3 + 4 + 5$, $5*6 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$. Вычислите значение выражения $(99*5)-(101*4)$.
комментарий/решение
Задача №6.  На рисунке ниже найдите градусную меру угла $\angle EDF.$


комментарий/решение
Задача №7.  Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 51 дают остаток 10.
комментарий/решение
Задача №8.  Пешеход вышел из пункта $N$ в пункт $M$. Через 40 минут из $N$ в $M$ выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в $M$, пешеходу оставалось $20\%$ всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на середине пути из $N$? Скорости пешехода и велосипедиста постоянны. Укажите ответ в минутах.
комментарий/решение
Задача №9.  Натуральное число $n$ не делится на 80. Но когда это число разделили на 80 с остатком, оказалось, что частное и остаток равны одному и тому же числу $q$, являющимся степенью тройки. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение
Задача №10.  Цена товара $X$ на $20\%$ ниже, по сравнению с товаром $Y$. Цена товара $Y$ подорожал вначале на $20\%$, а потом ещё на $20\%$. На сколько процентов требуется поднять цену товара $X$, чтобы его новая цена равнялась новой цене товара $Y$?
комментарий/решение
Задача №11.  Юре и Юле сейчас вместе 39 лет, причём Юле в 3 раза меньше лет, чем будет Юре тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Юре сейчас. Сколько лет сейчас Юре?
комментарий/решение
Задача №12.  Найдите наибольшее значение выражения: $-3x^2+6x+2202$.
комментарий/решение
Задача №13.  Периметр прямоугольного треугольника $ABC$ равен 60. Сторона $AB$ на 2 больше стороны $BC$, а сторона $AC$ в 2,4 раза меньше стороны $BC$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
комментарий/решение
Задача №14.  На доске было написано пять целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие десять чисел: $-2$, 1, 1, 3, 3, 6, 9, 11, 14, 14. Найдите произведение этих пять чисел.
комментарий/решение
Задача №15.  Рассмотрим все такие натуральные числа $n$, что найдется $n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2022. Найдите произведение всех таких натуральных $n$.
комментарий/решение
Задача №16.  Какое наибольшее количество целых чисел можно написать на доске так, чтобы и сумма и разность любых двух из них не делилась на 125.
комментарий/решение
Задача №17.  Числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ положительны. Известно, что $ab = 5$, $bc = 9$, $bd = 7$, $cd = 21$, $de = 5$. Найдите значение дроби $\frac{10a+10d}{e}$.
комментарий/решение
Задача №18.  Найдите наибольшее такое число $n$, что $100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200={{2}^{n}} \cdot k$. Здесь $k$ и $n$ — натуральные числа.
комментарий/решение
Задача №19.  Пусть $\frac{1}{A}=1-\frac{2}{1 \cdot \left( 1+2 \right)}-\frac{3}{\left( 1+2 \right) \cdot \left( 1+2+3 \right)}-\ldots -\frac{200}{\left( 1+2+\ldots +199 \right) \cdot \left( 1+2+\ldots +200 \right)}.$ Найдите число $A$.
комментарий/решение(1)
Задача №20.  Найдите число натуральных решений $(x, y, z)$ уравнения $x+y+z=65$.
комментарий/решение