1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Иранская олимпиада по геометрии
  5. 7-я олимпиада, 2020 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы


Задача №1. Точки $M$, $N$ и $P$ --- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. На отрезке $BC$ выбраны такие точки $E$ и $F$, что $\angle NEC= \angle AMB/2$ и $\angle PFB=\angle AMC/2$. Докажите, что $AE=AF$.
комментарий/решение(4)
Задача №2.  Точка $I$ --- центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $N$ --- середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$, $P$ --- такая точка, что $ABPC$ является параллелограммом. Точка $Q$ симметрична $A$ относительно $N$, $R$ --- проекция $A$ на прямую $QI$. Докажите, что прямая $AI$ касается описанной окружности треугольника $PQR$.
комментарий/решение
Задача №3.  Три круга на плоскости таковы, что любые два из них не имеют общих точек, и любая прямая, отделяющая один круг от другого, пересекается с внутренностью третьего круга. Докажите, что сумма попарных расстояний между центрами кругов не превосходит суммы их радиусов, умноженной на $2\sqrt{2}$.
   (Прямая отделяет один круг от другого, если круги не имеют с прямой общих точек и находятся в разных полуплоскостях относительно прямой.) Замечание. Более слабые результаты с заменой $2\sqrt2$ на $c$ могут быть оценены в зависимости от значения константы $c > 2\sqrt2$.
комментарий/решение
Задача №4. В выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром в точке $I$. Она касается сторон $AD$, $DC$, $CB$ и $BA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $E$, прямые $AB$ и $CD$ --- в точке $F$. Прямая $KM$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Прямая $LN$ пересекает прямые $AD$ и $BC$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $XFY$ касается окружности, построенной на отрезке $EI$ как на диаметре, тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника $TEZ$ касается окружности, построенной на отрезке $FI$ как на диаметре.
комментарий/решение(1)
Задача №5. Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$ ($AC > AB$) с ортоцентром $H$ и описанной окружностью $\Gamma$. Точки $M$ и $P$ --- середины отрезков $BC$ и $AH$ соответственно. Прямая $AM$ вторично пересекает $\Gamma$ в точке $X$, точка $N$ на прямой $BC$ такова, что прямая $NX$ касается $\Gamma$. Точки $J$ и $K$ лежат на окружности, построенной на $MP$ как на диаметре, причём $\angle AJP=\angle HNM$ ($B$ и $J$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AH$), а окружности $\omega_1$, проходящая через точки $K$, $H$ и $J$, и окружность $\omega_2$, проходящая через точки $K$, $M$ и $N$, касаются друг друга внешним образом. Докажите, что общие внешние касательные $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются на прямой $NH$.
комментарий/решение(2)