қазақша
русский7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $M$, $N$ және $P$ нүктелері сәйкесінше $BC$, $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $BC$ кесіндісінде $\angle NEC= \angle AMB/2$ және $\angle PFB=\angle AMC/2$ теңдіктері орындалатындай $E$ және $F$ нүктелері белгіленген. $AE=AF$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $I$ нүктесі — сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. $N$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BAC$ доғасының ортасы, ал $P$ нүктесі — $ABPC$ төртбұрышы параллелограм болатындай нүкте. $Q$ нүктесі $A$ нүктесіне $N$-ге қарағандағы симметриялы нүкте, ал $R$ нүктесі — $A$ нүктесінен $QI$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $AI$ түзуінің $\triangle PQR$-ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Жазықтықта үш шеңбер сызылған. Олардың кез-келген екеуінің ортақ нүктесі жоқ. Кез-келген екі шеңберді екі жаққа бөлетін кез-келген түзу үшінші шеңбердің ішкі нүктесі арқылы өтеді. Осы шеңберлердің центрлері $O_1,O_2, O_3$, радиустары сәйкесінше $r_1,r_2,r_3$ болсын. ${O_1}{O_2} + {O_2}{O_3} + {O_1}{O_3} \le 2\sqrt 2 \left( {{r_1} + {r_2} + {r_3}} \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(Түзу екі шеңберді екі жаққа бөледі дегеніміз, шеңберлердің осы түзумен ортақ нүктесі жоқ және олар осы түзудің екі жағында жатқанын айтамыз.)
Ескерту. Егер есеп $2\sqrt2$ санының орнына одан үлкенірек $c$ саны үшін шығарылған болса ($c > 2\sqrt2$ мәніне байланысты), ол жағдайда да есеп бағалануы мүмкін.
комментарий/решение
(Түзу екі шеңберді екі жаққа бөледі дегеніміз, шеңберлердің осы түзумен ортақ нүктесі жоқ және олар осы түзудің екі жағында жатқанын айтамыз.)
Ескерту. Егер есеп $2\sqrt2$ санының орнына одан үлкенірек $c$ саны үшін шығарылған болса ($c > 2\sqrt2$ мәніне байланысты), ол жағдайда да есеп бағалануы мүмкін.
комментарий/решение
Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышы центрі $I$ болатын шеңберге сырттай сызылған. Осы шеңбер $AD$, $DC$, $CB$ және $BA$ қабырғаларын сәйкесінше $K$, $L$, $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $AD$ және $BC$ түзулері $E$, ал $AB$ және $CD$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $KM$ түзуі $AB$ және $CD$ түзулерін сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қисын. $LN$ түзуі $AD$ және $BC$ түзулерін сәйкесінше $Z$ және $T$ нүктелерінде қисын. Келесі шарттар сонда, және тек сонда ғана орындалатынын дәлелдеңіз: егер $\triangle XFY$-ға сырттай сызылған шеңбер мен диаметрі $EI$ болатын шеңберлер жанасса, онда $\triangle TEZ$-ға сырттай сызылған шеңбер және диаметрі $FI$ болатын шеңберлер жанасады. (Шарттар үшін «сонда және тек сонда ғана» дегеніміз, егер бірінші шарт орындалса екінші шарт орындалатынын, және керісінше, екінші шарт орындалса, бірінші шарт орындалатыны дәлелдеу керек.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Биіктіктерінің қиылысуы нүктесі $H$ болатын сүйірбұрышты $ABC$ ($AC > AB$) үшбұрышы $\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған. $M$ және $P$ нүктелері сәйкесінше $BC$ және $AH$ кесінділерінің орталары. $AM$ түзуі $\Gamma$-ны екінші рет $X$ нүктесінде қияды. $N$ нүктесі $BC$ түзуінде жатыр және $NX$ түзуі $\Gamma$-ны жанайды. Диаметрі $MP$ болатын шеңбердің бойынан $\angle AJP=\angle HNM$ болатындай $J$ және $K$ нүктелері белгіленген ($B$ және $J$ нүктелері $AH$ түзуінің бір жағында жатыр). $K$, $H$ және $J$ нүктелері арқылы өтетін $\omega_1$ шеңбері мен $K$, $M$ және $N$ нүктелері арқылы өтетін $\omega_2$ шеңбер өзара сырттай жанасады. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінің ортақ сыртқы жанамалары $NH$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)