қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $AK$ биссектрисасы жүргiзiлген. $AB$ және $AC$ түзулерiнен сәйкесiнше $E$ және $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) нүктелерi алынған. $E$ және $D$ нүктелерi $BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және $EB = BK$, $CD = CK$. Егер $EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi $AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда $AB$ = $AC$ болатынын дәлелдеңiз.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$ болатындай барлық натурал $a$, $b,$ $c$ табыңыз. Бұл жердегi $(x,y)$--- $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2022}$ натурал сандар болсын. Кез келген екi $a_i$, $a_j$ $(i < j)$ сандары үшiн $a_i + a_j$, $a_ia_j$ және $|a_i - a_j |$ сандары жазылып алынады. Жазылып алынған сандардың iшiнде ең көп дегенде қанша сан тақ сан болатынын табыңыз.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №4. Кез келген нақты $a$, $b$ сандары үшiн келесi теңсiздiктi дәледеңiз $a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)