қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур регионального этапа
Есеп №1. Екі жүгіруші $ABCD$ шаршысының, сәйкесінше, $AC$ және $BD$ диагональдары бойымен бірдей тұрақты жылдамдықпен жүгіреді. Диагоналдың ұшына жеткеннен кейін әр жүгіруші дереу кері бұрылады. Олар диагональдардың кездейсоқ таңдалған екі нүктесінен бір уақытта жүгіруді бастады. Жүгірушілер арасындағы қашықтық шаршы диагоналінің жартысынан кіші болатын cәт табылатынын дәлелдеңіз.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ жай сандарының ешқандай екеуі тең емес. 1-ден үлкен натурал $a_1$, $\ldots$, $a_k,$ сандары үшін, $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, ${p_{100}}p_1^3$ сандарының әрқайсысы $a_1$, $\ldots$, $a_k$ сандарының қандай да екеуінің көбейтіндісіне тең екені белгілі. $k \ge 150$ екенін дәлелдеңіз.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $10\times 10$ кестесінің ұяшықтарына 1, 2, $\ldots$, 99, 100 сандары жазылған. ${2\times 2}$ шаршыдан бір ұяшықты алып тастағанда пайда болатын фигураны бұрыш деп атайық. Егер бұрышта қабырғасы ортақ болатын екі көршісі бар болатын ұяшықтағы сан сол екі көршісіндегі әр саннан артық болса, ондай бұрышты жақсы бұрыш деп атаймыз. Кестеде ең көп дегенде неше жақсы бұрыш болуы мүмкін? (Әр бұрыш басқаларға қатысты қалай орналасқанына қарамастан есептеледі және әртүрлі бұрыштар бір-бірімен қабаттасуы мүмкін.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасында $E$ нүктесі алынған. Үшбұрыштың $AL$ биссектрисасы $BE$ кесіндісін $X$ нүктесінде қияды. $AX=XE$ және $AL=BX$ екені белгілі. Үшбұрышта $\angle A:\angle B$ қатынасы нешеге тең?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Шеңбер бойына 99 оң сан қойылған. Кез келген қатар келген төрт сан үшін, сағат бойымен алынған алғашқы екеуінің қосындысы қалған екеуінің көбейтіндісіне тең. Барлық 99 санның қосындысы нешеге тең болуы мүмкін?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)