9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на окружности $\omega$ так, что $AB = BC = CD$. Касательная к $\omega$ в точке $C$ пересекает касательную к $\omega$ в точке $A$ и прямую $AD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Окружность $\omega$ и описанная окружность треугольника $KLA$ вторично пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MA = ML$.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB \neq AC$. Пусть $D$ --- точка на прямой $BC$ такая, что прямая $DA$ касается описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть $E$ и $F$ --- центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно, а $M$ --- середина отрезка $EF$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $AMD$ в точке $D$ также касается описанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В треугольнике $ABC$ ($\angle A \neq 90^\circ$) точка $O$ --- центр описанной окружности, а $H$ --- основание высоты из вершины $A$. Обозначим середины отрезков $BC$ и $AH$ за $M$ и $N$ соответственно. Отметим точку $D$ --- пересечение прямых $AO$ и $BC$, и $H'$ --- точку, симметричную $H$ относительно $M$. Пусть описанная окружность треугольника $OH'D$ пересекает описанную окружность треугольника $BOC$ в точке $E$. Докажите, что прямые $NO$ и $AE$ пересекаются на описанной окружности треугольника $BOC$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть $ABCD$ --- трапеция, в которой $AB \parallel CD$. Её диагонали пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ параллельно $AB$, пересекает отрезки $AD$ и $BC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Внешние биссектрисы углов $DBA$ и $DCA$ пересекаются в точке $X$. Пусть $S$ --- основание перпендикуляра, опущенного из $X$ на прямую $BC$. Докажите, что если четырехугольники $ABPQ$ и $CDQP$ описанные, то $PR = PS$.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Пусть $ABC$ --- остроугольный треугольник, вписанный в окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно так, что $O$ лежит на прямой $EF$ и четырёхугольник $BCEF$ вписанный. Пусть $R$ и $S$ --- пересечения прямой $EF$ с меньшими дугами $AB$ и $AC$ окружности $\omega$ соответственно. Точка $K$ симметрична $R$ относительно $C$, а точка $L$ симметрична $S$ относительно $B$. Точки $P$ и $Q$, лежащие на прямых $BS$ и $RC$ соответственно, таковы, что $PK$ и $QL$ перпендикулярны $BC$. Докажите, что окружность с центром $P$ и радиусом $PK$ касается описанной окружности треугольника $RCE$ тогда и только тогда, когда окружность с центром $Q$ и радиусом $QL$ касается описанной окружности треугольника $BFS$.
комментарий/решение(1)