1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 9-я олимпиада, 2022 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы


Есеп №1. $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелері $\omega$ шеңберінде $AB = BC = CD$ болатындай жатыр. $\omega$-ға $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзуді және $AD$ түзуін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $\omega$ шеңбері мен $KLA$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $M$ нүктесінде қиылысады. $MA = ML$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $AB \neq AC$ болатын сүйірбұрышты $\triangle ABC$ берілген. $D$ нүктесі $BC$ түзуінің бойында жатыр әрі $DA$ түзуі $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді жанайды. $E$ және $F$ нүктелері — $\triangle ABD$-ға және $\triangle ACD$-ға сырттай сызылған шеңберлер центрлері, ал $M$ — $EF$ кесіндісінің ортасы. $AMD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $D$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді де жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында ($\angle A \neq 90^\circ$) $O$ нүктесі — сырттай сызылған шеңбер центрі, ал $H$ нүктесі — $A$ төбесінен түсірілген биіктік табаны. $M$ және $N$ арқылы сәйкесінше $BC$ және $AH$ кесінділерінің орталарын белгілейік. $AO$ және $BC$ түзулері $D$ нүктесінде қиылысады, ал $H'$ нүктесі $H$ нүктесіне $M$-ге қарағандағы симметриялы нүкте. $\triangle OH'D$-ға сырттай сызылған шеңбер $\triangle BOC$-ға сырттай сызылған шеңберді $E$ нүктесінде қияды. $NO$ және $AE$ түзулері $\triangle BOC$-ға сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABCD$ трапециясының ($AB \parallel CD$) диагональдары $P$ нүктесінде қиылысады. $P$ арқылы өтетін және $AB$-ға параллель түзу $AD$ және $BC$ кесінділерін сәйкесінше $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. $DBA$ және $DCA$ бұрыштарының сыртқы биссектрисалары $X$ нүктесінде қиылысады. $S$ нүктесі — $X$ нүктесінен $BC$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. Егер $ABPQ$ және $CDQP$ — сырттай сызылған төртбұрыштар болса, $PR = PS$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. $E$ және $F$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $AB$ қабырғаларынан $O$ нүктесі $EF$ түзуінде жататындай және $BCEF$ іштей сызылған төртбұрыш болатындай алынған. $EF$ түзуі $\omega$-ның кіші $AB$ және $AC$ доғаларын сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелерінде қияды. $K$ нүктесі $R$ нүктесіне $C$-ға қарағандағы, ал $L$ нүктесі $S$ нүктесіне $B$-ға қарағандағы симметриялы нүктелер. $BS$ және $RC$ түзу бойларында $PK \perp BC$ және $QL \perp BC$ болатындай сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері алынған. Егер центрі $Q$ және радиусы $QL$ болатын шеңбер $\triangle BFS$-ға сырттай сызылған шеңберді жанаса, онда центрі $P$ және радиусы $PK$ болатын шеңбер $\triangle RCE$-ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. Осыған кері тұжырымды да дәлелдеңіз: егер центрі $P$ және радиусы $PK$ болатын шеңбер $\triangle RCE$-ға сырттай сызылған шеңберді жанаса, онда центрі $Q$ және радиусы $QL$ болатын шеңбер $\triangle BFS$-ға сырттай сызылған шеңберді жанайды.
комментарий/решение(1)