Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  Можно ли вписать в клетки таблицы ${3\times 3}$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE = \angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE \ge EK$. ( А. Пастор )
комментарий/решение(6)

---

Задача №4.  Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами. ( И. Богданов )
комментарий/решение

---