Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Есеп №1. Әр қатардағы және ар бағандағы үш санның көбейтіндісі 2024-ке бөлінетіндей, бірақ сол үш санның қосындысы 100-ден кем болатындай етіп, ${3\times 3}$ кестенің ұяшықтарына әртүрлі тоғыз натурал санды жазуға болады ма? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Тақтаға 100 сан жазылған. Олардың кез келген екеуінің көбейтіндісі қалған 98-інің қосындысына тең. Тақтаға жазылған барлық 100 санның қосындысы нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $E$ нүктесі $ABCD$ трапециясының $BD$ диагоналінің ортасы. $AD$ табанында $\angle AFE = \angle BAD$ болатындай $F$ нүктесі белгіленген. $K$ нүктесі $B$ нүктесіне $F$ нүктесіне қарағандағы симметриялы нүкте. $AC+CE \ge EK$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Пастор )
комментарий/решение(6)

---

Есеп №4. Натурал $k$ саны берілген. $12k^3$ санынан аспайтын натурал сандардың арасынан $6k+20$ сан таңдап алынды. Таңдалған сандардың ішінен, бірінші алтылықтағы 6 санның қосындысы екінші алтылықтағы 6 санның қосындысына тең болатындай, бірақ осы алтылықтардың ортақ мүшесі болмайтындай етіп, екі алтылықты таңдауға болатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение

---