қазақша
русский11-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2011 жыл
Есеп №1. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ жиындары үшін
$|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5|$ санының ең аз мүмкін мәнін анықтаңдар:
(i) барлық $1 \le i < j \le 5$ үшін $|A_i \cap A_j|= 1$ , яғни кез келген әртүрлі екі жиынның дәл бір ортақ элементі бар;
(ii) барлық $1 \le i < j < k < l \le 5$ үшін $A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l = \emptyset$, яғни кез келген әртүрлі төрт жиынның ортақ элементі жоқ.
Мұнда $|S|$ арқылы $S$ жиынының элементтерінің саны белгіленген.
комментарий/решение(1)
(i) барлық $1 \le i < j \le 5$ үшін $|A_i \cap A_j|= 1$ , яғни кез келген әртүрлі екі жиынның дәл бір ортақ элементі бар;
(ii) барлық $1 \le i < j < k < l \le 5$ үшін $A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l = \emptyset$, яғни кез келген әртүрлі төрт жиынның ортақ элементі жоқ.
Мұнда $|S|$ арқылы $S$ жиынының элементтерінің саны белгіленген.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $C$ бұрышы доғал болатын теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышы берілген. $AC$ қабырғасының ($C$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан $\angle KBC = \angle ABC$ болатындай етіп $K$ нүктесі алынған. $\angle BKC$ және $\angle ACB$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы $S$ нүктесі болсын. $AB$ және $KS$ түзулері $L$ нүктесінде, ал $BS$ және $CL$ түзулері $M$ нүктесінде қиылыссын. $KM$ түзуі $BC$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $a+b+c = 1$ теңдеуін қанағаттандыратын кез келген оң, нақты $a,b,c$ үшін төмендегі теңсіздік орындалатындай
$$\left( \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(c+a)^2}\right)
(a-bc)(b-ca)(c-ab) \le M abc$$
$M$ нақты санының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Кейбір бүтін $m,n$ сандары арқылы $m^2 + mn + n^2$ түрінде өрнектеуге болатын ақырсыз көп жай сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)