12-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Есеп №1.  Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ трапециясында $BC \parallel AD$. Осы шеңбердің ($C$ нүктесі жатпайтын) $AD$ доғасының ортасын $E$ деп белгілейік. $E$ нүктесінен шеңбердің $C$ нүктесі арқылы өтетін жанамасына түсірілген перпендикулярдың табанын $F$ деп белгілейік. $BC=2CF$ теңдігін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Өлшемі $4\times 4$ болатын кестенің жолдары 1, 2, 3, 4 сандарымен, ал бағандары $a$, $b$, $c$, $d$ әріптерімен белгіленген және оның әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған. Егер осы кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл екі бірлік жазылған болса, оны жарамды деп атаймыз. Жарамды кестелердің санын анықтаңдар. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Бізге бүтін $n > 1$ саны берілген. $\left\{ C_{2n}^{2i+1}:0\le i\le n-1 \right\}$ сандар жиынының ең үлкен ортақ бөлгішін, яғни әрбір $i = 0, 1, \ldots, n-1 $ үшін $C_{2n}^{2i+1}$ санын қалдықсыз бөлетін ең үлкен оң бүтін санды анықтаңдар. (Мұнда $C_{m}^{l}=\frac{m!}{l!\left( m-l \right)!}$ — биномдық коэффициент.) ( А. Джумадильдаев )
комментарий/решение

---

Есеп №4. Кез келген оң бүтін n үшін $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ сандарының арифметикалық ортасы $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ аралығында жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

---