3-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2007 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Бізге 111 түйме берілген. Осы түймелерді өлшемі $n\times n$ болатын тақтаның шаршыларына ортақ қабырғалы көрші шаршылардағы түймелер санының айырмасы дәл 1-ге тең болатындай етіп салу керек (шаршыда бірнеше түйме болуы немесе ол бос болуы әбден мүмкін). Қандай максимал $n$ үшін осы шараны іске асыруға болады?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының ішінен $\angle MBC=\angle MDC$, $\angle MBA=\angle MCD$ болатындай етіп $M$ нүктесі алынған. Егер $\angle BAC=\angle DAC$ екені белгілі болса, онда $\angle ADC$ бұрышының $\angle BMC$ немесе $\angle AMB$ бұрыштарының біреуіне тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. ${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны ${{n}^{2}}$ санына бөлінетіндей ақырсыз көп наутрал $n$ саны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Кез келген $x,y$ нақты сандары үшін $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$ теңдігін қанағаттандыратын $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы (мұндағы $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны) бар ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Барлық оң нақты сандардың жиыны өзара қиылыспайтын, бос емес үш жиынға бөлінген.
a) Бір үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай 3 сан (әр жиыннан бір-бірден) таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.
b) Әрқашан бір тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай 3 сан (әр жиыннан бір-бірден) таңдап алуға бола ма?
комментарий/решение

---

Есеп №6. Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрыштың $AD$, $BE$ және $CF$ диагоналдары бір $M$ нүктесінде қиылысады. Оған қоса, $ABM$, $BCM$, $CDM$, $DEM$,$EFM$ және $FAM$ үшбұрыштарының сүйірбұрышты үшбұрыштар екендігі, ал олардың сырттай сызылған шеңберлерінің центрлері бір шеңбердің бойында жататыны белгілі. Онда $ABDE$, $BCEF$ және $CDFA$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---