қазақша
русский11-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2015 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой
цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном $n$
нашёлся треугольник площади $n$ с тремя вершинами выбранного цвета.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$
в точке $N$. Точка $K$ симметрична $M$ относительно $AC$. Прямая $BK$
пересекает $AC$ в точке $P$. Докажите, что если $\angle AMP=\angle CMN$, то
$\angle ABP=\angle CBN$.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Найдите все функции $f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что
$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех $x, y\in \Bbb R$.
(
Исмаилов Ш.Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите наибольшее натуральное $n$ такое, что для любого натурального
$k \le \dfrac{n}{2}$ найдутся два натуральных делителя $n$ с разностью $k$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Обозначим через $A_n$ множество разбиений последовательности $1, 2, \dots,
n$ на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых любые
два соседних члена имеют разную чётность, а через $B_n$ — множество
разбиений последовательности $1, 2, \dots, n$ на несколько
подпоследовательностей, в каждой из которых все члены имеют
одинаковую чётность (например, разбиение $\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$
является элементом $A_9$, а разбиение $\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$
является элементом $B_6$).
Докажите, что при каждом натуральном $n$ множества $A_n$ и $B_{n+1}$
содержат одинаковое количество элементов.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Площадь выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равна $S$, а радиусы описанных
окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ — $R_1$, $R_2$,
$R_3$, $R_4$ и $R_5$. Докажите неравенство $R_1^4 + R_2^4 + R_3^4 + R_4^4 + R_5^4 \geq \dfrac{4}{{5{{\sin }^2}{{108}^\circ }}}{S^2}.$
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)