қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. $a,b,c > 1$ болатындай нақты сандар берілген. $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a $ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Ким А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Әрбір натурал $n$ саны үшін ${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ саны $ab+bc+ca$ санына бөлінетіндей қос-қостан өзара жай болатын барлық натурал $(a,b,c)$ үштіктерін табыңыздар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышының ($C$ бұрышы тік) іштей және іштейсырт сызылған шеңберлері $BC$ қабырғасын сәйкесінше $A_1$ және $A_2$ нүктелерінде жанайды. Тағы сол сияқты ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелерін анықтаймыз. ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ және ${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ кесінділері $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесінен түсірілген биіктікте қиылысатынын дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $N$ нүктесі — $B$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. $BD$ кесіндісінде $DA=DA_1$ және $DC=DC_1$ болатындай $A_1$ және $C_1$ нүктелері табылған. $AA_1$ және $CC_1$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $ME$ түзуі $BC$ кесіндісін $F$ нүктесінде қияды. $AB+BF=CF$ теңдігін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Пирамида түріндегі $n+1$ деңгейлі толық ағаш берілген. Түбір (1-ші деңгей) мен ең соңғы ($(n+1)$-ші) деңгейдегі нүктелерден басқа қалған деңгейлердегі әр нүктеден төмен қарай екі қабырға шығады, және төбеден бір қабырға кіреді. 1-ші суретте мысал $n = 3$ үшін көрсетілген. Әрбір түс үшін бірдей түске боялған барлық қабырғалар қандай да бір деңгейдегі төбеден ең төменгі деңгейдегі төбеге дейін жол құрайтындай, ағашты берілген әртүрлі $2^n$ түске (әр қабырға бір ғана түске боялған) қанша әдіспен бояуға болады? (Келесі төбе алдыңғы төбемен қабырғамен қосылған және деңгейі сол төбеден төмен жататын төбелер тізбегін жол деп атаймыз.)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ саны толық квадрат болатындай барлық $(n,k)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
(
Ильясов С.,
Овчинников Д.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)