Математикадан 23-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2006 жыл

Есеп №1. $a$, $b$ және $c$ сандары оң нақты сандар болсын. $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы берілген. $AB$ және $AC$ қабырғаларын кесінде ішінде сәйкесінше $D$ және $F$ нүктелерінде, $BC$ қабырғасының жалғасын $E$ нүктесінде қиятындай $m$ түзуі берілген ($C$ нүктесі $B$ және $E$ нүктелерінің арасында жатады). $A$, $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтетін $m$ түзуіне параллель түзулер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше $A_1$, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде қияды. $A_1E$, $B_1F$ және $C_1D$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №3. Барлық $m+\dfrac{1}{np}, \quad n+\dfrac{1}{pm}, \quad p+\dfrac{1}{mn}$ сандары бүтін болатын барлық оң рационал $(m, n, p)$ үштіктерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Оң бүтін $m$ саны берілсін. $n = 0, 1, \dots$ үшін $a_0 = a$ және $${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}, \text{~жұп~}{{a}_{n}}, \\ {{a}_{n}}+m, \text{~тақ~}{{a}_{n}}, \\ \end{matrix} \right.$$ шартымен анықталған $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }$ жиыны кейбір $k$ саны үшін $a_0, a_1, \dots, a_k$ түріндегі периодтық цикл болатындай барлық оң бүтін $a$ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

---