Математикадан жасөспірімдер арасындағы 15-ші Балкан олимпиадасы 2011 жыл, Ларнака, Кипр

Есеп №1. $a$, $b$, $c$ сандары $abc=1$ орындалатындай оң нақты сандар болсын. Дәлелдеңіздер: $$\prod (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\ge 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$$ (Көбейтінді барлық айнымалы бойынша алынады.)
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Төмендегі шартты қанағаттандыратындай $x$ және $y$ натурал сандары табылатындай барлық $p$ жай сандарын табыңыздар: $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p.$
комментарий/решение(7)

---

Есеп №3. Теңқабырғалы үшбұрыш қабырғаларына параллель түзулермен бір-біріне тең $n^2$ теңқабырғалы үшбұрыштарға бөлінді. $m$ — екі кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын, ал $d$ — сегіз кіші үшбұрыштармен құралған ромбтар саны болсын. $m-d$ айырымын $n$ арқылы өрнектеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  $ABCD$ — дөңес төртбұрыш болсын. $AB$ және $CD$ қабырғаларында $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CD}{DF}=n$ болатындай $E$ және $F$ нүктелері белгіленген. $S$ — $AEFD$ төртбұрышының ауданы болсын. Дәлелдеңіздер: $S \le \dfrac{AB \cdot CD+n(n-1) AD^2+n^2DA \cdot BC}{2n^2}.$
комментарий/решение(1)

---