49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год


Задача №1. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі $H$ болсын. Центрі $BC$ қабырғасында орналасқан $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $BC$ түзуін ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$ нүктелерінде қияды. Дәл сондай центрі $CA$ қабырғасының ортасында болатын $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $CA$ түзуін ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелерінде қияды, ал центрі $AB$ қабырғасының ортасында болатын $H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер $AB$ түзуін ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелерінде қияды. ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №2. а) Әрқайсысы 1-ге тең емес және $xyz=1$ шартын қанағаттандыратын $x$, $y$, $z$ нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1.$
б) Бірліктен өзге $xyz=1$ болатын рационал $x$, $y$, $z$ сандарының үштігі, көрсетілген теңсіздіктің теңдік жағдайы орындалатындай шексіз көп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число ${{n}^{2}}+1$ имеет простой делитель, больший числа $2n+\sqrt{2n}$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все функции $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ такие, что $\dfrac{{{\left( f(w) \right)}^{2}}+{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f({{y}^{2}})+f({{z}^{2}})}=\dfrac{{{w}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ для любых положительных $w$, $x$, $y$, $z$ удовлетворяющих равенству $wx=yz$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Пусть $n$ и $k$ такие натуральные числа, что $k\ge n$, а число $n-k$ четное. Имеется $2n$ лампочек, занумерованных числами $1$, $2$, $\ldots $, $2n$, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Вначале все лампочки были выключены. Рассматриваются упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл. либо с выкл. на вкл.). Обозначим через $N$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с 1-й по $n$-ю включены, а все лампочки с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю выключены.
Обозначим через $M$ количество последовательностей из к шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по $n$-ю включены, все лампочки с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения $\dfrac{N}{M}$.
комментарий/решение
Задача №6.  Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $BA\ne BC$. Обозначим окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, через ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega $, которая касается продолжения отрезка $BA$ за точку $A$, продолжения отрезка $BC$ за точку $C$, а также касается прямых $AD$ и $CD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ пересекаются на окружности $\omega $.
комментарий/решение
результаты