қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2012 жыл
Есеп №1. Таня мен Сережа кезектесіп, шахмат тақтасының бос торларына фишкаларды қояды. Бірінші болып Таня фишканы тақтаның кез-келген торына орналастырды. Әрбір келесі жүрісте Сережа, Таня жүрген бағанға, фишка қоюы тиіс, ал Таня, Сережа жүрген жолға фишка қоюы тиіс. Жүріс жасай алмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында қай ойыншы жеңіске жетеді?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABCD$ тіктөртбұрышы берілсін. $DC$ сәулесінде, $BD$-ға тең $DK$ кесіндісі алынсын. $M$ нүктесі, $BK$ кесіндісінің ортасы. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $AM$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Барлық $2N$ жолдардағы және бағандардағы сандардың қосындысы әртүрлі болатындай, $N\times N$ кестесіне қос-қостан тең емес ${{N}^{2}}$ $(N > 10)$ натурал сандарды орналастыруға болады ма?
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $p=1601$ (жай сан) болсын, ал қысқартылмайтын бөлшек $\dfrac{m}{n}$, алымдары $p$ санына қысқармайтын, $\dfrac{1}{{{0}^{2}}+1}$, $\dfrac{1}{{{1}^{2}}+1}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{{{\left( p-1 \right)}^{2}}-1}$ бөлшектердің қосындысына тең болсын. $2m+n$ саны $p$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. 2012 төбесі бар дұрыс көпбұрыштың төбелері қандай да бір қатарда ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{2012}}$ әріптерімен белгіленді. Егер $k+l$ және $m+n$ сандары, 2012-ге бөлгенде бірдей қалдық берсе, ${{A}_{k}}{{A}_{l}}$ және ${{A}_{m}}{{A}_{n}}$ хордаларына ортақ нүкте жоқ екені белгілі. Вася көпбұрышты айнала қарастырғанда, алғашқы екі төбе ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{4}}$ арқылы белгіленгенін көрді. Рет бойынша 10-ыншы орналасқан төбе қалай белгіленген?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіз: $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{n}^{3}}}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. Қабырғалары қатарынан 3, 6, 5, 8 болатын дөңес төртбұрышытың ішінде шеңбер салынды. Осы шеңбердің радиуысы 3-тен кіші екенін дәлелдеңіз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Қатарда 25 есек тұр және шеткі оң жағында орналасқан есектің аты Иа-Иа. Қатар орналасқан есектер, әртүрлі түсті кішкене шар алу үшін және әрбір түсті шарды есектердің біреуі алатындай, Винни Пух әрбір есекке кемпірқосақтың бір түсіндегі шарды бергісі келеді. Әр түсті қыш құмыраны кем-дегенде бір есек алатындай (көршілес тұрған есектер бір түстегі қыш құмыраларды ала алады), Иа-Иа қалған 24 есектерге кемпірқосақтың бір түсіндегі қыш құмыраларды бергісі келді (жасыл түстен басқа). Екі достың қайсысында ойлағанын іске асыруға амалы көп және неше есе?
комментарий/решение
комментарий/решение