С. Волчёнков


Задача №1.  В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: $p_1 = 2, p_2 = 3, \dots $. Может ли среднее арифметическое $(p_1+ \dots +p_n)/n$ при каком-нибудь $n \geq 2$ быть простым числом? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр — просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Существуют ли два многоугольника (не обязательно выпуклых), обладающих следующим свойством: прикладывая их друг к другу (без наложения), можно получить многоугольники с любым числом сторон от 3 до 100 включительно? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трех из них — делится. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7.  Докажите, что произвольные $N^2$ попарно различных натуральных чисел ($N > 10$) можно расположить в таблице $N\times N$ так, чтобы все $2N$ сумм по строкам и по столбцам были различны. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Сколькими способами из клетчатого квадрата $2011\times2011$ можно вырезать квадрат $11\times11$ так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  В каждой клетке таблицы $3 \times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 и 3. Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение олимпиада
Задача №10.  Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники $1\times 2$ так, что некоторые два соседних столбца заполнены 2001 горизонтальным прямоугольником. Докажите, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение олимпиада
Задача №11.  Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники $1\times 2$. Известно, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. Докажите, что в исходном разбиении имеются два соседних столбца таблицы, заполненные 2001 горизонтальным прямоугольником. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение олимпиада