қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Тақтада 1,2, $\ldots$, 2016, 2017 сандары жазылған. Бір қадамда ешқайсысы 0-ге тең емес үш қатар тұрған $a$, $b$ және $c$ сандарын алып, оларды осы ретпен жазылған $b-1$, $c-1$, $a-1$ үштігіне ауыстыруға болады. Осындай қадамдармен тақтада жазылған сандардың қосындысының ең кіші қандай мәнін алуға болады?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $AB$ қабырғасы $AC$ қабырғасынан үлкен. $\angle ACD=\angle CBD$ болатындай $AB$ қабырғасынан $D$ нүктесі алынған. $E$ нүктесі $BD$ кесіндісінің ортасы, ал $S$ нүктесі $BCD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $A$, $E$, $S$ және $C$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. ${{x}_{1}}=0$ болатын ${{x}_{n}}$ $\left( n=1,2,\ldots \right)$ тізбегі берілген. Барлық бүтін $n > 1$ үшін келесі теңдік орындалады ${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \frac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Мұнда $\left[ a \right]$ дегеніміз $a$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді). ${{x}_{n}}$ саны $n$ санына бөлінетіндей барлық $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Компьютер желісінде 2017 компьютер. Кез келген екі компьютер кабельмен жалғанған. Желіде компьютерлердің шамадан тыс жұмыс істеуінен, қайта-қайта желінің бір бөлігінде жұп компьютерлерден құралған циклдің бір кабелі күйіп кетеді. Егер күйіп кеткен кабельдердің ешқайсысы жөнделмейтін болса, онда бірнеше уақыттан кейін тура 2016 бүтін кабель қалуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Барлық оң $a$, $b$, $c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіз $\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ — сырттай сызылған шеңбердің центрі, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ сәйкесінше $AC$ және $AB$ қабырғаларының ортасы. $A$ төбесі мен $O$ нүктесін қамтитын, бірақ ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен $\omega $ шеңберін таңдайық. $\omega $ шеңбері $O{{B}_{1}}$ және $O{{C}_{1}}$ түзулерін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қисын. $K{{B}_{1}}$-дің $L{{C}_{1}}$-ге қатынасы $\omega $ шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)