Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 8 сынып

Есеп №1. $1+2+2^2+2^3+\dots+2^{77}$ қосындысы 7-ге бөлінеді ма?
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Нақты $a$, $b$, $c$ сандары үшін $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ теңдігі орындалады. $a=b=c$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Балақай әр күн сайын $a$ немесе $b$ километр жүреді, мүұндағы $a$ мен $b$ — сатурал сандар және $a > b$. Балақай дәл 100 километрді 9 немесе 11 күнде жүріп өте алатындай, бірақ 10 жүріп өте алмайтындай $a$ мен $b$ сандарының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Қанша екі орынды санның цифрларының қосындысы бүтін санның квадраты болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Сегізінші сыныптың оқушысы кез келген квадратты одан кіші 10 квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттардың ішінде өлшемдері бірдей квадрат болуы мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. $x+y=4$ және $x^2+y^2=10$ екені белгілі. $x^4+y^4$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(5)