қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дана последовательность чисел $\{a_n\}$, удовлетворяющих условиям $a_{125} \neq 0$,
$a_i\cdot a_j=a_{i+j}\cdot (a_i+a_j)$, для любых натуральных $i$, $j$.
Чему равно $a_{2000}$, если $a_{2001}=2000$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $D$. Пусть $E$ и $F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что если $DE^2+DF^2$ принимает минимальное из всех возможных значений, то угол между $AD$ и биссектрисой угла $A$ равен углу между биссектрисой и медианой, опущенных из вершины $A$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что любое целое число представимо в виде $x^2+y^2+z^3$, где $x$, $y$ и $z$ — целые числа.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. Клетчатая доска $2001\times 2001$ разбита на фигурки трех видов
.
Докажите, что фигурок первого вида не меньше чем $4003$.
комментарий/решение
.
Докажите, что фигурок первого вида не меньше чем $4003$.
комментарий/решение
Задача №6. Докажите неравенство $(1+a_1)(1+a_2) \dots (1+a_n)\leq 1+s+\frac{s^2}{2!}+ \dots +\frac{s^n}{n!},$ где $a_i>0$, $i=1$, $2$, $\dots$, $n$ и $s=a_1+a_2+ \dots +a_n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Дан четырехугольник $ABCD$ и точка $F$ внутри него.
Известно, что $ABCF$ — параллелограмм. Докажите, что
$$
S_{ABC}\cdot S_{ACD}+S_{AFD}\cdot S_{FCD}=S_{ABD}\cdot S_{BCD}.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Даны натуральные числа $q$, $n$ $\text{и}$ $r$, $0 < r \le n$. Докажите, что число
$(q^n-1)(q^n-q) \dots (q^n-q^{r-1})$ делится на $r$!.
комментарий/решение
комментарий/решение