қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал $i,j$ сандары үшін ${{a}_{i}}\cdot {{a}_{j}}={{a}_{i+j}}\left( {{a}_{i}}+{{a}_{j}} \right)$ теңдігін және ${{a}_{125}}\ne 0$ шартын қанағаттандыратын $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі берілген. Егер ${{a}_{2001}}=2000$ екені белгілі болса, ${{a}_{2000}}$ неге тең?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер: ${{a}^{4}}+{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+a+1={{b}^{2}}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышының $BC$ қабырғасында $D$ нүктесі таңдап алынған. $D$ нүктесінен сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардьң табандарын $E$ және $F$ деп белгілейік. Егер $D{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}$ өрнегінің шамасы ең кіші мүмкін болатын мәнге тең болса, $AD$ мен $A$ бұрыштың биссектрисасы арасындағы бұрыш $A$ төбесінен түсірілген биссекстриса мен медиана арасындағы бұрышқа тең екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген бүтін санды ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{3}}$ түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер, мұндағы $x,y$ және $z$ бүтін сандар.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №5. $2001\times 2001$ торкөз тақта келесі үш түрлі фигураларға бөлінген: 
. Бірінші фигуралардың саны 4003 тен кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
. Бірінші фигуралардың саны 4003 тен кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Есеп №6. Келесі теңсіздікті делелдеңдер: $(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\ldots (1+{{a}_{n}})\le 1+s+\dfrac{{{s}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{s}^{n}}}{n!},$ мұндағы ${{a}_{i}} > 0$, $i=1,2,\ldots ,n$. және $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $ABCD$ төртбұрышы және оның ішіндегі $F$ нүктесі берілген. $ABCF$ төртбұрышының параллелограмм екені белгілі. ${{S}_{ABC}}\cdot {{S}_{ACD}}+{{S}_{AFD}}\cdot {{S}_{FCD}}={{S}_{ABD}}\cdot {{S}_{BCD}}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $q,n$ және $r$, $0 < r\le n$ натурал сандары берілген. $({{q}^{n}}-1)({{q}^{n}}-q)\ldots ({{q}^{n}}-{{q}^{r-1}})$ саны $r!$ санына бөлінетінін делелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение