Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Әрқайсысы қалған сандардың квадраттарының қосындысына тең болатындай нақты ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{2003}}$ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. $S$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын, ал $P$, $Q$ нүктелері — $C$ төбесінен сәкесінше $BAC$ және $ABC$ бұрыштарының биссектрисаларына түсірілген биіктіктердің табандары. $AB$ және $PQ$ параллель екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өлшемдері $2m\times 2n$ ($m$ және $n$ — натурал сандар) торкөз тақта $1\times 2$ домино тастарымен өзара қабаттаспайтындай етіп толық жабылған. Осы тақтаға ешбір екі домино беттеспейтіндей, тақтаны толық жабатындай етіп, тағы бір қабат домино тастарын орналастыруға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Тақта үстінде 2003 тас жатыр. Екі ойыншы кезекпен бірден кем емес, бірақ қалған тастардың жартысынан аспайтын бірнеше тас алады. Жүрісінен кейін бір тас қалған ойыншы жеңіледі. Ойыншылардың қайсысы (біріншісі ме, екіншісі ме) әрқашан дұрыс ойнап жеңе алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Оң $a,b,c$ сандары $ab+bc+ac=1$ теңдігін қанағаттандырады. $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Кез келген натурал $n$ үшін ${{a}_{n}}={{n}^{2}}+500$ және ${{d}_{n}}=2+\text{ЕҮОБ}\left( {{a}_{n}},{{a}_{n+1}} \right)$. ${{d}_{n}}$-ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №7. $D$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BC$ доғасының ($A$ нүктесі жатпайтын) ортасы. $E$ нүктесі $BC$ түзуіне қарағанда $D$ нүктесіне симметриялы нүкте. $K$, $L$, $M$, $N$ нүктелері сәйкесінше $AE$, $AB$, $BC$, $CA$ кесінділерінің орталары. $K$ нүктесі $LMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Алпамыс дәптерге жеті натурал ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{7}}$сандарын, және тақтаға барлық $i\ne j$ үшін ${{a}_{i}}\cdot {{a}_{j}}$, ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}$, $\left| {{a}_{i}}-{{a}_{j}} \right|$ сандарын жазды. Тақтада ең көп дегенде қанша тақ сан болуы мүмкін?
комментарий/решение(15)