қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2014, 10 класс, теоретический тур
Задача №1. (9.0 балла)
Эта задача состоит из двух независимых частей.
Часть А (4.0 балла) В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится в равновесии $10$ г льда, $3$ г воды и $2$ г водяного пара. Вдвигая поршень, объём сосуда уменьшают вдвое.
1) Определите новый равновесный состав смеси;
2) Изобразите качественную зависимость масс компонентов смеси со временем для двух случаев: поршень вдвигается медленно; поршень вдвигается быстро;
Удельная теплоёмкость льда $c=2,09$ кДж/(кг$\cdot$К;
Удельная теплоёмкость воды $c=4,19$ кДж/(кг$\cdot$К);
Удельная теплота плавления льда $\lambda=335$ кДж/кг;
Удельная теплота парообразования воды (при $t=0^{\circ}C$) $r= 2.49$ МДж/кг.
Часть Б (5.0 балла) В плоский прямоугольный конденсатор емкости $C$ вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью $\varepsilon$ и массой $M$, которая может скользить по пластинам без трения. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$. В какой-то момент времени в диэлектрик попадает пуля массы $m$ и застревает в нем. Длина пластин конденсатора в направлении движения пули равна $h$, а размерами самой пули можно пренебречь.
1) При какой минимальной начальной скорости движения пули она сможет выбить диэлектрик из конденсатора? 2) За какое время при этом диэлектрическая пластина покинет конденсатор?
комментарий/решение
Эта задача состоит из двух независимых частей.
Часть А (4.0 балла) В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится в равновесии $10$ г льда, $3$ г воды и $2$ г водяного пара. Вдвигая поршень, объём сосуда уменьшают вдвое.
1) Определите новый равновесный состав смеси;
2) Изобразите качественную зависимость масс компонентов смеси со временем для двух случаев: поршень вдвигается медленно; поршень вдвигается быстро;
Удельная теплоёмкость льда $c=2,09$ кДж/(кг$\cdot$К;
Удельная теплоёмкость воды $c=4,19$ кДж/(кг$\cdot$К);
Удельная теплота плавления льда $\lambda=335$ кДж/кг;
Удельная теплота парообразования воды (при $t=0^{\circ}C$) $r= 2.49$ МДж/кг.
Часть Б (5.0 балла) В плоский прямоугольный конденсатор емкости $C$ вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью $\varepsilon$ и массой $M$, которая может скользить по пластинам без трения. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$. В какой-то момент времени в диэлектрик попадает пуля массы $m$ и застревает в нем. Длина пластин конденсатора в направлении движения пули равна $h$, а размерами самой пули можно пренебречь.
1) При какой минимальной начальной скорости движения пули она сможет выбить диэлектрик из конденсатора? 2) За какое время при этом диэлектрическая пластина покинет конденсатор?
комментарий/решение
Задача №2. Нелинейная нитка (10.0 балла)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин $l$, значительно превышающих ее начальную длину $l_0$. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, при $x\ll1$,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, при $x\ll1$,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, где $C$ — некоторая постоянная.
комментарий/решение(1)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин $l$, значительно превышающих ее начальную длину $l_0$. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.
- Выразите площадь поперечного сечения $S$ резинки в деформированном состоянии через ее длину $l$ и ее начальные размеры $l_0$, $S_0$;
- При малых деформациях резинки сила натяжения $F$ и ее удлинение $x$ связаны законом Гука $F=k_0x$, где начальная жесткость равна $k_0=E_0S_0/l_0$, а $E_0$ — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки $l\gg l_0$ закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон $F(l)=a+\frac{b}{l}$. Выразите постоянные $a$ и $b$ через $l_0, S_0$ и $E_0$.
- Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины $l$. Малое изменение $\Delta F$ растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины $\Delta l\ll l$. Выразите $\Delta F$ через $l,l_0,E_0$ и $\Delta l$.
- Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки $l$ через кинетическую энергию тела $K$ и через $l_0,S_0,E_0$.
- Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины $r(t)=l(t)-l(0)$, радиальной $\vartheta_{r}(t)$ и тангенциальной $\vartheta_{t}$ скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как $L=l(0)$,$V_r=\vartheta_r(0)$ и $V_1=\vartheta_1(0)$. Запишите два уравнения, связывающие между собой $r(t)$, $\vartheta_r(t)$ и $\vartheta_t(t)$. В уравнениях используйте следующие величины: масса тела $m$, а также $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$.
- Предполагая $r\ll l$, найдите соотношение между $r(t)$ и $\vartheta_r(t)$, которое также содержит $m$, $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$. Найдите период $T$ малых осцилляций $r(t)$. Упростите выражение для $T$ при $L\gg l_0$.
Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, при $x\ll1$,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, при $x\ll1$,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, где $C$ — некоторая постоянная.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Нелинейный резистор (11.0 балла)
Эксперименты показали, что некоторый нелинейный резистор обладает следующими свойствами. При постепенном повышении температуры до $T_1= 100^{\circ}$ С его сопротивление скачком изменяется от $R_1=50$ до $R_2=100$ Ом, а обратный скачок сопротивления наблюдается при более низкой температуре, равной $T_2=90^{\circ}$ С. Теплоемкость резистора была измерена отдельно и оказалась равной $C=4$ Дж/К.
В начальный момент времени $t=0$ температура резистора равна $T_0=20^{\circ}$ С и к нему подключают источник питания напряжением $U=10$ В. Чтобы резистор не перегрелся и не расплавился, его обдувают вентилятором, который обеспечивает отвод тепла от резистора с постоянной скоростью $P_{Q}=4$ Дж/с. Вентилятор обладает термическим датчиком и таймером, которые работают следующим образом. Как только температура резистора достигает значения $T_\text{cr}=110^{\circ}$ С, срабатывает термический датчик, который включает вентилятор на время, равное $\tau=1.5$ мин.
комментарий/решение
Эксперименты показали, что некоторый нелинейный резистор обладает следующими свойствами. При постепенном повышении температуры до $T_1= 100^{\circ}$ С его сопротивление скачком изменяется от $R_1=50$ до $R_2=100$ Ом, а обратный скачок сопротивления наблюдается при более низкой температуре, равной $T_2=90^{\circ}$ С. Теплоемкость резистора была измерена отдельно и оказалась равной $C=4$ Дж/К.
В начальный момент времени $t=0$ температура резистора равна $T_0=20^{\circ}$ С и к нему подключают источник питания напряжением $U=10$ В. Чтобы резистор не перегрелся и не расплавился, его обдувают вентилятором, который обеспечивает отвод тепла от резистора с постоянной скоростью $P_{Q}=4$ Дж/с. Вентилятор обладает термическим датчиком и таймером, которые работают следующим образом. Как только температура резистора достигает значения $T_\text{cr}=110^{\circ}$ С, срабатывает термический датчик, который включает вентилятор на время, равное $\tau=1.5$ мин.
- Определите момент времени $t_1$, когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
- Определите момент времени $t_2$, когда произойдет первое включение вентилятора;
- С течением времени в системе возникают периодические изменения температуры. Найдите минимальное значение температуры $T_{\min}$ резистора в этих колебаниях;
- Чему равен период $\tau_0$ установившихся колебаний температуры?
- Какое количество джоулева тепла $Q$ выделяется на резисторе за один период колебаний?
- Нарисуйте график зависимости температуры резистора $T$ от времени $t$ с момента $t=0$ до завершения второго периода колебаний.
комментарий/решение