қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Биссектриса угла $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает
гипотенузу $AB$ в точке $D$ и точка $M$ — середина $AD$. На $CD$
как на стороне построен квадрат $CDEF$ так, что точки $A$ и $F$ лежат
по разные стороны от прямой $CD$. Докажите, что $\angle ACM=\angle FAC$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В некоторой организации участвуют 100 стран. Некоторые из этих
стран могут образовать сообщества, но число стран в одном сообществе
не должно превосходить 50. Известно, что любые две страны из
организации является членом некоторого сообщества. Какое минимальное
количество сообществ создано внутри организации?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите целую часть числа $\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {2003} + \sqrt {2004} }}.$
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №4. На доске написаны числа 5, 7 и 9. Если на доске написаны числа $a$, $b$ и $a>b$, то за один ход на доске можно написать новое число $5a-4b$. Выясните:
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Даны числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, $\dots $, $n$, $n$. При каких значениях $n$ эти числа можно так объединить в $n$ пар, чтобы сумма чисел, стоящих в каждой паре, давали при делении на $n$ различные остатки?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Найдите все действительные решения системы:
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y, \cr
y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x. \cr
\end{array}
\right.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В данном множестве $A$ целых положительных чисел верно условие:
для любых различных $x, y \in A$ выполняется неравенство $|x-y|\geq \frac{xy}{30}$.
Какое максимальное количество элементов может содержать данное множество $A$?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. Периметр треугольника $ABC$, где $AB < AC$, в 7 раз больше длины $BC$. Вписанная окружность треугольника касается стороны $BC$ в точке $E$, и диаметр $DE$ этой окружности пересекает медиану из вершины $A$ в точке $F$. Найдите отношение $DE:DF$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)