қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3.$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $\cos(\sin(2005))$ және $\sin(\cos(2005))$ сандарын салыстырыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Тепе-теңдікті дәлелдеңіздер: $$
\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}
{2} \cdot \sin \dfrac{{n + 1}}
{2}x}}
{{\sin \dfrac{x}
{2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ қабырғасын ұзындықтары сәйкесінше 5 см және 3 см болатын $AD$ және $DB$ кесінділеріне бөледі. $A$ бұрышы $60^\circ $ болса, $BC$ қабырғасының ұзындығын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABCD$ $(AB=CD)$ теңбүйірлі трапециясына шеңбер іштей сызылған. $M$ — $CD$ қабырғасының шеңбермен жанасу нүктесі, $K$ — $AM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі, $L$ — $BM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі болсын. $\dfrac{AM}{AK}+\dfrac{BM}{BL}$ мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $a, b, c, d$ оң сандары берілген. Теңсіздікті дәлелдеңіздер және $a$, $b$, $c$, $d$ қандай мәндерінде теңдік орындалады: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d).$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Теңдеуді рационал сандар жүйесінде шешіңздер: $x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)