Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс


Задача №1.  Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом: $a_1=3$ и $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ для всех натуральных $n.$ Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство $\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, а биссектриса внешнего угла при вершине $A$ во второй пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P.$ Некоторая окружность, проходящая через точки $A$ и $P$, во второй раз пересекает отрезки $BP$ и $CP$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $\angle DEP=\angle DFP.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Каждая точка плоскости окрашена в один из четырех цветов. Докажите, что найдутся две точки $A$ и $B$ одного цвета такие, что $AB=1$ или $AB=\sqrt{3}$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Можно ли квадрат со стороной 1 разбить на 18 прямоугольников, стороны которых параллельны сторонам квадрата, так, чтобы периметр каждого прямоугольника разбиения была равна $\frac{5}{2}$?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все такие пары натуральных чисел $n$ и $k$, что число $2^k+10n^2+n^4$ является полным квадратом.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $\angle ABC=\angle AED=90^\circ,$ $\angle ACB=\angle ADE.$ Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $BC$ и $DE$ соответственно. Отрезки $CQ$ и $DP$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что $AX \perp BE.$
комментарий/решение(1)