қазақша
русскийXVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год
Есеп №1. Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $C_1H$ кесіндісінде $K$ нүктесі белгіленген, бұл жерде $CC_1$ — үшбұрыштың биіктігі. $L$ және $M$ нүктелері $K$ нүктесінен сәйкесінше $AC$ және $BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары. $AM$ және $BL$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $\angle ANK=\angle HNL$ теңдігін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Әрбір $1\le i < j \le 99$ үшін $ia_j+ja_i\ge i+j$ теңсіздіктері орындалатындай $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{99}$ нақты оң сандары берілген. $(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $\varphi (a^n+n)=2^n$ теңдігі орындалатын барлық натурал $(a,n)$ жұптарын табыңыз. (Бұл жерде $\varphi(n)$ — Эйлер функциясы, яғни 1-ден $n$-ге дейінгі $n$ санымен өзара жай бүтін сандардың саны.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $\{a_n\}$ тізбегі келесідей анықталған: $a_0=1$ және $n \ge 1$ үшін ${a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt n ]} {{a_{n - {k^2}}}}$. $a_1,a_2,\ldots,a_{10^6}$ сандарының арасында кемінде 500 жұп сан бар екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде $[x]$ арқылы $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз.)
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)