6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, вторая лига, 9-10 классы


Задача №1.  Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точка $O_1$ лежит на $\omega_2$. На окружности $\omega_1$ выбрана произвольная точка $P$. Прямые $BP$, $AP$ и $O_1O_2$ вторично пересекают $\omega_2$ в точках $X$, $Y$ и $C$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $XPYC$ является параллелограммом.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Найдите все четырёхугольники $ABCD$ такие, что все четыре треугольника $ABC$, $ABD$, $ACD$ и $BCD$ попарно подобны.
комментарий/решение
Задача №3.  Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$ проходят через точку $P$. Касательная к $\omega_1$, проведённая в точке $P$, вторично пересекает $\omega_2$ и $\omega_3$ в точках $P_{1,2}$ и $P_{1,3}$ соответственно. Точки $P_{2,1}$, $P_{2,3}$, $P_{3,1}$ и $P_{3,2}$ определяются аналогично. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам $P_{1,2}P_{1,3}$, $P_{2,1}P_{2,3}$ и $P_{3,1}P_{3,2}$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
Задача №4.  Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $K$ на прямой $AD$ такова, что $BK=AB$. Пусть $P$ — произвольная точка на прямой $AB$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PC$ пересекает описанную окружность треугольника $APD$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что описанная окружность треугольника $ABK$ проходит через ортоцентр треугольника $AXY$.
комментарий/решение
Задача №5.  Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Точки $E$ и $F$ — основания биссектрис углов $B$ и $C$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ таковы, что четырёхугольники $BFPE$ и $CEQF$ являются параллелограммами. Докажите, что $\angle PAQ > 150^\circ$. (Рассматривается угол $PAQ$, который не содержит сторону $AB$ треугольника.)
комментарий/решение