қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең бүтін коэффициентті көпмүше жақсы деп аталады. Жақсы көпмүшелердің көбейтіндісі тағы да жақсы көпмүше болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $H$ — ортоцентр, ал $D$ және $E$ нүктелері — сәйкесінше $B$ және $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары. Диаметрі $DE$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын тағы бір рет сәйкесінше $F$ және $G$ нүктелерінде қияды. $FG$ және $AH$ кесінділері $K$ нүктесінде қиылысады. Егер $BC=25,$ $BD=20$ және $BE=7$ болса, $AK$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. $x^2+y^2+z^2=2019$ теңдеуінің барлық натурал сан шешімдерін табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі таңдап алынған. Егер $APB,$ $BPC,$ $CPA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, $P$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\{a_i \}$ сандар тізбегі былайша анықталған: $a_0=0$ және
$n=0,1,2,\ldots$ үшін $a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}.$ Тізбектің әрбір мүшесі бүтін сан екенін және оның жұп нөмірлі мүшелерінің әрқайсысы 2020-ға бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Өлшемі $16\times 16$ тіктөртбұрыш кесте 0 мен 1 сандарымен толтырылған. Кез келген екі баған алсақ, осы бағандардан тең элементтер жазылған қатарлардың саны 9-дан кем. Кестедегі 0-дердің саны 160-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение