қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?
(
Д. Демин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC.$ Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP = BR.$ Найдите сумму углов $ARM,$ $PBM$ и $BMR.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано натуральное число $n,$ большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
(
Д. Демин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В квадратной таблице $2021 \times 2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий: 1) Прибавить к каждому выбранному числу 1. 2) Разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число. Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
(
М. Дидин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)