3-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

$ABC$ үшбұрышының жартыпериметрі $s = (|AB| + |BC| + |AC|)/2$ болсын. $|AL| = |CN| = s$ шартын қанағаттандыратындай етіп $AB$ және $CB$ сәулелерінен сәйкес $L$ және $N$ нүктелерін алайық. $K$ нүктесі $B$ нүктесіне $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне қатысты симметриялы болсын. $K$ нүктесінен $NL$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

По условию BK-диаметр,докажем,что I лежит на BK ,пусть точки S и T точки касания вписанной окружности и ABC со сторонами BC и AB соответственно,тогда BTIS-вписанный ,но по условию BAKC-вписанный.Т.к. Центр,образ и прообраз гомотетии лежат на одной прямой,B,I,K лежат на одной прямой,значит BK-биссектриса ,посчитав углы,поймем,что ABC-равнобедренный,дальше очевидно.

Если есть ошибки,прошу указать на них.