II математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год

Пусть $s = (AB + BC + AC)/2$ является полупериметром треугольника $ABC$. Выберем две точки $L$ и $N$, лежащие на лучах $AB$ и $CB$ соответственно, при этом удовлетворяющих условию $AL = CN = s$. Пусть точка $K$ является симметричной точке $B$ относительно центра описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $NL$, проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

По условию BK-диаметр,докажем,что I лежит на BK ,пусть точки S и T точки касания вписанной окружности и ABC со сторонами BC и AB соответственно,тогда BTIS-вписанный ,но по условию BAKC-вписанный.Т.к. Центр,образ и прообраз гомотетии лежат на одной прямой,B,I,K лежат на одной прямой,значит BK-биссектриса ,посчитав углы,поймем,что ABC-равнобедренный,дальше очевидно.

Если есть ошибки,прошу указать на них.