Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2008 жыл

Дөңес $ABCD$ төрбұрышының $AC$ және $BD$ диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады, $M$ нүктесі --- $AE$ кесіндінің ортасы, $N$ нүктесі --- $CD$ кесіндінің ортасы. $BD$ диагоналы $ABC$ бұрышының биссектрисасы болып табылады. $ABCD$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады сонда және тек қана сонда, егер $MBCN$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады екендігін дәлелде.

Комментарий/решение

Пусть имеется треугольник $ABC$ и $BE$ - биссектриса, $M$ - середина $AE$, опишем окружность $\omega$ около $BMC$, если $G \in BE \in \omega$ пусть $E'$ симметричная $E$ отн $G$ тогда $MG || AE'$ тогда $\angle BCM = \angle BGM = \angle BE'A$ тогда $ABCE'$ - вписанный, но тогда $\angle CBE' = \angle ABE' = \angle ACE' $ если $N \in \omega \cap CE'$ откуда $GN || CE$ значит $N$ середина $CE'$.

Заменяя $E'$ на $D$ получаем условие задачи

пишешь на латексе?!

Так что вы все-таки доказываете, в какую сторону утверждение? Рассуждения о подобии треугольников не понятны? Кроме того, откуда вы взяли, что если утверждение верно в одну сторону, то верно и в обратную?