Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2014 жыл

$l$ түзуі — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $B$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу. $K$ нүктесі — үшбұрыштың ортоцентірінен $l$-ге түсірілген проекция, ал $L$ — $AC$ қабырғасының ортасы. $BKL$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Точка $D$, симметричная ортоцентру $H$ относительно середины $L$ стороны $AC$, лежит на описанной окружности и является диаметрально противоположной точке $B$. Следовательно, $B$ — проекция $D$ на прямую $l$. Тогда проекция середины $L'$ отрезка $HD$ на прямую $l$ является серединой проекции $BK$, откуда $LL'$ — серединный перпендикуляр к $BK$, а значит, $\triangle BKL$ равнобедренный.