Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2014 год

Прямая $l$ — касательная к окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника $ABC$, проведенная в точке $B$. Точка $K$ — проекция ортоцентра треугольника на прямую $l$, а точка $L$ — середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $BKL$ является равнобедренным.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Точка $D$, симметричная ортоцентру $H$ относительно середины $L$ стороны $AC$, лежит на описанной окружности и является диаметрально противоположной точке $B$. Следовательно, $B$ — проекция $D$ на прямую $l$. Тогда проекция середины $L'$ отрезка $HD$ на прямую $l$ является серединой проекции $BK$, откуда $LL'$ — серединный перпендикуляр к $BK$, а значит, $\triangle BKL$ равнобедренный.