Математикадан 56-шы халықаралық олимпиада, 2015 жыл, Чиангмай

Егер $S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі $A$ және $B$ нүктелері үшін $AC=BC$ болатындай $S$ жиынында $C$ нүктесі табылса, онда шекті $S$ жазықтықтағы нүктелер жиыны \textit{балансты} деп аталады. Егер $S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі $A$, $B$ және $C$ нүктелері үшін $PA=BB=PC$ болатындай $S$ жиынында $P$ нүктесі табылмаса, онда $S$ центрден бос деп аталады.
(а) Кез келген бүтін $n \ge 3$ үшін, $n$ нүктеден тұратын балансты жиын табылатынын дәлелдеңіз.
(б) $n$ нүктеден тұратын балансты центрден бос жиын табылатындай, барлық $n \ge 3$ бүтін сандарын табыңыз.

Комментарий/решение

Решение:

В обоих пунктах для нечетных $n$ подходит правильный $n-$угольник. Далее будем рассматривать только четные $n.$

$(a)$ Рассмотрим единичный ромб $ABCO,$ где $\angle AOC=120.$

Далее рассмотрим единичные правильные треугольники $OX_{2i-1}X_{2i},$ для $i=1,…,\frac{n-4}{2}.$

Все получившиеся точки, кроме $O$, лежат на единичной окружности с центром в точке $O.$ Легко проверить, что данный пример подходит.

$(b)$ Допустим для четного $n$ существует нужная конфигурация.

Количество пар точек из этого множества равно $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},$ при чем для каждой из этих пар существует другая точка из данного множества, что $CA=CB.$ Ясно, что некоторая точка $O$ будет лежать искомым образом для $\frac n 2$ пар точек. У нас всего $n$ точек, поэтому какие-то две пары точек будут иметь одну общую точку, но тогда $OA=OB=OC,$ противоречие.

$(b)$ Посчитаем двумя способами кол-во троек $(A,B,C)$ такие что $CA=CB$. Заметим что для любых двух пар точек существует такая точка $C$ то есть их кол-во ровно $\dfrac{n(n-1)}{2}$. Но с другой стороны заметим что иза эксцентричности, для каждой точки существует не больше $n \cdot [\dfrac{n-1}{2}]$ то есть $[\dfrac{n-1}{2}] \geq \dfrac{(n-1)}{2}$ откуда $n$ нечетный.