Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2002 жыл

$x$ пен $y$-тің барлық $x,y\in \left[ 0;1 \right]$ мәнінде келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: $5{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}\le 4+{{(x+y)}^{4}}$.

Комментарий/решение

Предположим что $x\leq y$ и раскроем скобки,после приведения подобных слагаемых и сокрашения на 4 получаем неравенство:

$x^4+x^2*y^2+y^4\leq 1+x^3*y+x*y^3$

значит справидливо:

$x^4\leq x^3*y ; x^2*y^2\leq x*y^3 ; y^4 \leq1$

Д.О.О. y ≥ x

После открытия скобок надо доказать

x⁴ + y⁴ + 4x²y² ≤ x³y + xy³ + 1

1 ≥ y⁴

x³y ≥ x⁴

xy³ ≥ x²y²