Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2002 год

Докажите, что при всех $x,y\in [0;1]$ выполняется неравенство $5(x^2+y^2)^2\leq 4+(x+y)^4. $

Комментарий/решение

Предположим что $x\leq y$ и раскроем скобки,после приведения подобных слагаемых и сокрашения на 4 получаем неравенство:

$x^4+x^2*y^2+y^4\leq 1+x^3*y+x*y^3$

значит справидливо:

$x^4\leq x^3*y ; x^2*y^2\leq x*y^3 ; y^4 \leq1$

Д.О.О. y ≥ x

После открытия скобок надо доказать

x⁴ + y⁴ + 4x²y² ≤ x³y + xy³ + 1

1 ≥ y⁴

x³y ≥ x⁴

xy³ ≥ x²y²