Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2008 жыл

1-ден 501-ге дейінгі натурал сандардың ішінен 250 сан таңдалды. ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}-t$ саны 23-ке бөлінетіндей, кез келген бүтін $t$ үшін, таңдалған сандар ішінен ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ және ${{a}_{4}}$ сандары табылатынын дәлелдеңіз. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Ну пусть t дает n по моду 23

Тогда из 250 чисел можно выбрать таких что

a_1+b_1+c_1+d_1 \equiv n \pmod {23}

Это можно легко докзаать или даже аналогично тем что в кучке из 250 чисел будет как минимум по 5 из каждых остатков 23 ведь 250>23•2•10