Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2008 год

Из натуральных чисел от 1 до 501 выбрано 250 чисел. Докажите, что для любого целого $t$ найдутся такие четыре выбранных числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$, что $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 -t $ делится на 23. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Ну пусть t дает n по моду 23

Тогда из 250 чисел можно выбрать таких что

a_1+b_1+c_1+d_1 \equiv n \pmod {23}

Это можно легко докзаать или даже аналогично тем что в кучке из 250 чисел будет как минимум по 5 из каждых остатков 23 ведь 250>23•2•10