Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2009 жыл

Үш нақты сан берілсін. Кез келген екеуінің көбейтіндісінде, бөлшек бөлім $\dfrac{1}{2}$-ге тең. Осы сандар иррационал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть даны числа x,y,z

Допустим, что среди трех есть одно рациональное и иррациональное. Тогда их произведение будет иррационально, т.е. дробная часть произведения не равна 2.

Допустим, все три рациональны.

$$V_{2}(xy)= V_{2}(zy)= V_{2}(xz)=-1$$

$$V_{2}(xy)+V_{2}(zy)+ V_{2}(xz)=2(V_{2}(x)+ V_{2}(y)+ V_{2}(z))=-3$$

Но заметим, что степень вхождения 2ойки у х,у,z целая, т.е. и их сумма целая, но из равентсва мы получили что их сумма -1,5 противоречие.