Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2010 год

Продолжения сторон $AB$ и $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжения сторон $AD$ и $BC$ — в точке $Q$. Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников $APD$ и $AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников $CQD$ и $BPC$. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Конструкция: Пусть имеется вписанный в $w$ треугольник $CHQ$, где $D$ - ортоцентр, $CV$ -высота, $CV,CX$ симметричны отн биссектрисы $X \in HQ$ и $S \in w \cap CV, \ J \in CX \cap w$, проведем параллельно $CX$ прямую $l$ проходящую через $D$, пусть $Y \in l \cap HQ$

Лемма: в такой конструкции $HY = QX$

Доказательство: $HSQJ$ - равноб-ая трапеция , по свойству ортоцентра $DV=SV$ если $R \in SJ \cap DY$ тогда $DY=RY$, но тогда $YXJR$ - параллелограмм, значит $DY =XJ$ откуда $DYXJ$ - параллелограмм, получается что $XJ=DY=SY$ значит и $SYXJ $ - равно-ая трапеция, следовательно треу-и $HYS, JXQ$ - равны по двум сторонам и углу.

Задача: Отметим что все четыре ортоцентра, назовем их $H,F,U,K$ это ортоцентры $CQD, \ APD, \ BPC, \ AQB$. лежат на одной прямой т.н прямой Обера.

В задаче требуется показать что $KF = UH$ или $KU = FH$.

Доказательство : рассмотрим треугольник $KHQ$ в нем $KQ || \ CU || \ DF$,

если $X \in CU \cap QH, Y \in DF \cap QH$ тогда это тоже самое что доказать $HY = QX$ , и так как $ABCD$ вписанный, посчитав углы получаем $\angle HCV = \angle QCX$ применив лемму, получаем $HY=QX$ а значит $KU=FH$