Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2015 жыл

Натруал санды қызықты деп атайық, егер осы санның цифраларының қосындысына 1-ді қосқанда пайда болатын сан, осы санды қалдықсыз бөлетін болса. Қатар орналасқан натурал сандардың ең көп дегенде нешеуі қызықты болуы мүмкін? ( О. Подлипский )

Комментарий/решение

Сумма цифр числа $n$ это $S(n)$

Берём такой $n=3k+2$.Если оно забавное то $n \equiv 0 \pmod {S(n)+1}$,но $S(n)+1 \equiv 0 \pmod {3}$ а $n \equiv 2 \pmod {3}$.Значит максимальное количество подряд идущих забавных чисел $2$.Пример:$(39,40)$.

а если n такой что не дает остаток 2 по моду 3

Я показал почему не может быть 3 раза подряд и показал пример на 2,потому что забавные числа по моду 3 будут давать либо 0 либо 1.

Ну пусть это число А среди чисел А,А+1,А+2 окажется одно число дающееся 2 по моду 3 пусть это 3к+2 при этом сумма цифр дает такой же остаток как и само число значит 3|3к+2 явное противоречие значит трех не существует но есть пример на 2 это {39_40}

Не думаю что надо доказывать то что среди чисел А,А+1,А+2 окажется такое число это можно и примерами доказать