Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2015 год

Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр, увеличенная на 1, является делителем этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел может оказаться забавными? ( О. Подлипский )

Комментарий/решение

Сумма цифр числа $n$ это $S(n)$

Берём такой $n=3k+2$.Если оно забавное то $n \equiv 0 \pmod {S(n)+1}$,но $S(n)+1 \equiv 0 \pmod {3}$ а $n \equiv 2 \pmod {3}$.Значит максимальное количество подряд идущих забавных чисел $2$.Пример:$(39,40)$.

а если n такой что не дает остаток 2 по моду 3

Я показал почему не может быть 3 раза подряд и показал пример на 2,потому что забавные числа по моду 3 будут давать либо 0 либо 1.

Ну пусть это число А среди чисел А,А+1,А+2 окажется одно число дающееся 2 по моду 3 пусть это 3к+2 при этом сумма цифр дает такой же остаток как и само число значит 3|3к+2 явное противоречие значит трех не существует но есть пример на 2 это {39_40}

Не думаю что надо доказывать то что среди чисел А,А+1,А+2 окажется такое число это можно и примерами доказать