Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел $x$, $y$ и $z$ справедливо неравенство $\sqrt {2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2}} + \sqrt {3{x^2} + 4{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {4{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \ge $ ${\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2}$

Комментарий/решение

По неравенству Коши Буняковского имеем: $\sqrt{2+3+4}\cdot \sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}\ge \left( 2x+3y+4z \right),$ то есть $\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}\ge \dfrac{2x+3y+4z}{3}.$

Аналогично, получим неравенства $\sqrt{3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3x+4y+2z}{3}$ и $\sqrt{4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}}\ge \dfrac{4x+2y+3z}{3}.$

Просуммировав каждое слагаемое, используя выше написанными неравенствами, получим

$\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}}\ge 3(x+y+z),$ но свою очередь верно $3(x+y+z) \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$ , которое следует также из неравенства Коши Буняковского.

Сразу извиняюсь за то, что не знаю латекс(, мб есть ошибки

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{3}$, тогда применим нер-во КБШ для цикличных сумм в корнях в LHS, тогда получаем следующее:

$ 3 \cdot \left( (\sqrt{2} \cdot x)^2 + (\sqrt{3} \cdot y)^2 + (2 \cdot z)^2 \right) \geq \left( \sqrt{6} \cdot x + 3 \cdot y + \sqrt{12} \cdot z \right)^2 $

Применим КБШ аналогичным образом и для других корней слева, далее заменим все суммы на RHS из данных неравенств. Получаем, что нам необходимо доказать:

$ (x + y + z)(\sqrt{6} + \sqrt{12} + 3) \geq (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 \cdot \sqrt{3} $

сократим на $\sqrt{3}$ :

$ (x + y + z)(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}) \geq (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 $

в силу того, что: $ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} \geq 3 $

изначальное неравенство верно, чтд

Очень сильно советую научиться писать на латексе,в дальнейшем будет очень полезно

$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\le 3x+3y+3z \Longrightarrow$ $\Longrightarrow({ \color{red} ! })(\sqrt{2x^2+3y^2+4z^2}+\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}+ \sqrt{4x^2+2y^2+3z^2})^2\ge (3x+3y+3z)^2\Longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow( { \color{red} ! } )2\sqrt{2x^2+3y^2+4z^2} \sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}+2 \sqrt{3x^2+4y^2+2z^2} \sqrt{4x^2+2y^2+3z^2} +2\sqrt{4x^2+2y^2+3z^2}\sqrt{2x^2+3y^2+4z^2}\ge 18xy+18yz+18zx$

$2\sqrt{2x^2+3y^2+4z^2} \sqrt{2z^2+3x^2+4y^2}\ge 4zx+6xy+8yz$. Аналогично для других и всё.