Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2016 жыл

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрыштың $AA_1$, $BB_1$, және $CC_1$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. ${{A}_{0}}$, ${{B}_{0}}$, ${{C}_{0}}$ нүктелері, сәйкесінше $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $\angle {{A}_{0}}{{B}_{2}}{{A}_{2}}=\angle {{B}_{0}}{{C}_{2}}{{B}_{2}}=\angle {{C}_{0}}{{A}_{2}}{{C}_{2}}=90{}^\circ $ болатындай, $AH$, $BH$ және $H{{C}_{1}}$ кесінділері бойында ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{2}}$ нүктелері алынған. $A{{C}_{2}}$, $B{{A}_{2}}$ және $CB_2$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( А. Пастор )

Комментарий/решение

Заметим что $\angle A_0B_2A_2 = \angle A_0A_1A_2 = 90^\circ$, поэтому $A_0A_1A_2B_2$ лежат на одной окружности, пусть $\omega$. Заметим что степень точки $C$ отн. $\omega$ равен $CA_1*CA_0=\frac {1}{2}BC*AC*cos \angle C$. Аналогично получаем $CB_0*CB_1=\frac {1}{2}BC*AC*cos \angle C$. Теперь можем сказать что $CB_2$ - радикальная ось двух полученных окружностей, тогда получается и $AC_2, BA_2$ радикальные оси каких то окружностей, аналогичные первым двум, тогда эти прямые пересекаются в радикальном центре, т.е. в одной точке.